OP írta (v1):

Mit jelent "egy csoport $ {\ bf N} $"?

1) A fizikusok visszavonhatatlan ábrázolásra (irrep) utalnak bármely $ G $ csoportról, amelyről beszélünk. A $ {\ bf N} $ szám az irrep dimenziójára utal. A lényeg az, hogy az irrepek olyan ritkák, hogy az irrepeket gyakran egyedileg határozzák meg dimenzióik (modulo izomorfizmusok). (Ez általában nem igaz, és a fizikusok ekkor elkezdik díszíteni a félkövér arcú dimenziós szimbólumot más dísztárgyakkal, például $ {\ bf 3} $ és $ \ bar {\ bf 3} $ vagy pl. $ {\ Bf 8} _v $ és $ {\ bf 8} _s $ és $ {\ bf 8} _c $ stb., Hogy megkülönböztessük őket.)

2) Egyébként csoportképviselet $ \ rho: G \ to GL (V, \ mathbb {F}) $, ahol $ G $ egy csoport, ahol $ \ mathbb {F} $ egy mező (általában $ \ mathbb {F} = \ mathbb {R} $ vagy $ \ mathbb {F} = \ mathbb {C} $), ahol $ V $ egy $ \ mathbb {F} $ - vektortér, és ahol $ \ rho $ egy csoportos homomorfizmus; ne feledje, hogy a fizikusok mind a $ \ rho $ térképet, mind a $ V $ vektorteret "reprezentációnak" nevezik.

'' $ G $ csoport $ N $ '' a $ G $ (általában félig egyszerű) csoport $ N $ -dimenziós redukálhatatlan (projektív) ábrázolására utal. A reprezentáció a $ U $ homomorfizmusa $ G $ -tól a $ V $ vektortér lineáris öntérképezésének téréig (a sugárokra ható projektív esetben); visszavonhatatlan, ha nincs olyan alap, amelyben az összes $ U (g) $ blokk háromszög alakú lenne. Az ábrázolás dimenziója a $ V $ dimenziója.

Például a $ SO (3) $ reprezentációs elmélete azt sugallja, hogy minden dimenziónak pontosan egy redukálhatatlan projektív ábrázolása létezik. A 2-dimenziós reprezentáció a spinor-ábrázolás, a háromdimenziós a közönséges vektor-reprezentáció.

Ha egy $ x $ objektum átalakul, mint egy $ N $, akkor a $ x $ egy általános elem egy $ -ból. N $ -dimenziós tér, a $ N $ ábrázolással, és ezért transzformálódik a $ g $ csoportelem alatt $ x \ - U (g) x $ segítségével. Például $ SO (3) $ esetén, ha $ x $ átalakul $ 2 $ -ként, akkor ez egy spinor, ha átalakul, mint egy $ 3 $, akkor vektor, stb.

sok esetben a dimenzió határozza meg az ábrázolást az izomorfizmusig, ezért a zsargon. (Ellenkező esetben a reprezentációkat megkülönböztetésüknek nevezhetjük $ N $ -nak és $ \ overline N $ -nak stb.). Például az SU (5) dimenziója 24, a 24 pedig a mellékdeprezentációt jellemzi (amelynek dimenziója 24 ).

Mit jelent a "$ {\ bf N} $ egy csoporton" kifejezés?

A csoport $ {\ bf N} $ értéke tulajdonképpen a $ N $ -dimenziós irreducibilis ábrázolás ának rövidítése.

Csak gyorsírás a $ {\ bf N} $ reprezentáció? Ha igen, akkor mi van pontosan egy adott csoport $ {\ bf N} $ ábrázolása?

A csoportelemek absztrakt műveletek, amelyeket az adott objektumokra gyakorolt ​​hatásuk határoz meg. Például a háromdimenziós, $ \ mathrm {SO (3)} $ elforgatási csoportot olyan elemek alkotják, amelyek a koordinátarendszereket úgy forgatják, hogy bármely vektor hossza invariáns legyen. Annak érdekében, hogy a dolgok egyértelműbbek legyenek, lineáris reprezentációkat rendelünk ezekhez a csoportokhoz, azaz a csoport elemeit mátrixokká térképezzük fel, amelyek valamilyen $ \ mathbb V $ vektorterre hatnak. Ha a $ \ mathbb V $ $ N $ -dimenziós, akkor ez a csoportábrázolás.

Ha a csoportelemeket reprezentáló összes $ N $ -dimenziós mátrix - hasonlósági transzformációval - blokkátlós alakban írható, akkor az ábrázolást csökkenthető . Egyébként irreducible nak (vagy egyszerűen irrep. ) hívják, és $ \ bf N $ -val címkézheti, amely a méretét jelöli. Például a sík általános elforgatása, amely a $ \ mathrm {SO (2)} $ csoportot alkotja, egyszerűen $ e ^ {i \ theta} $ néven írható, egydimenziós, visszavonhatatlan ábrázolással. Másrészt a kétdimenziós ábrázolás $$ \ begin {bmatrix} \ cos \ theta&- \ sin \ theta \\ \ sin \ theta& \ cos \ theta \\ \ end {bmatrix}. $$ redukálható, mivel átlós formába helyezhető $$ \ begin {bmatrix} e ^ {i \ theta} &0 \\ 0&e ^ {- i \ theta} \\ \ end {bmatrix}, $$ által generált hasonlósági transzformáció felhasználásával $$ \ frac {1} {\ sqrt 2} \ begin {bmatrix} 1&1 \\ -i&i \\ \ end {bmatrix}. $$ Ezt az egydimenziós redukálhatatlan ábrázolást $ \ bf 1 $ -val kell jelölnünk, ezért a kétdimenziós redukálható ábrázolást $ \ bf 1 \ oplus \ bf 1 $ jelöli, ahol a $ \ bf 1 $ az egyes egy dimenziós blokk, amely hasonlósági transzformáció után írható. Ez az ábrázolás tulajdonképpen két $ 1 $ dimenziójú vektortér közvetlen összege alapján működik.

• Hogyan lehet konkrétan kidolgozni / leírni egy ilyen ábrázolást, például a $ SU (2) $ Pauli mátrixait? Hálás lennék egy egyszerű példáért.
• Mit jelent, ha valami "átalakul, mint a $ {\ bf N} $"?

Az irreducibilis ábrázolások kidolgozásához a csoport helyett az algebrával kell foglalkoznunk. A Lie csoport összes eleme között vannak olyan speciális elemek, amelyek felhasználhatók bármely más létrehozására. A csoport generátorainak hívják őket, és megfelelnek egy adott struktúrának, az úgynevezett Lie algebra -nak. Például a $ \ mathrm {SU} (2) $ csoportnak van egy Lie \ algebra $ \ mathfrak {su} (2) $, amelynek generátorai $ T_a $, $ a = 1,2,3 $, kielégítőek $$ [T_a, T_b] = i \ epsilon_ {abc} T_c. $$ Ezen absztrakt elemek $ R $ reprezentációjának meg kell őriznie ezt a struktúrát, azaz $$ [R (T_a), R (T_b)] = i \ epsilon_ {abc} R (T_c), $$ ahol $ R (T) $ egy $ N $ -dimenziós mátrixként értendő.

A Lie algebrából az összes lehetséges ábrázolás megszerezhető. Ez általában úgy történik, hogy a generátorokat az úgynevezett Cartan-Weyl bázisra írjuk, amely az algebrát a Cartan alalgebrára (az önjáró vagy átlósítható generátorok maximális halmazára) és a lépcső vagy létra operátorokra bontja. Egy adott redukálhatatlan ábrázolás állapotát a Cartan-generátorok sajátvektorai adják meg. Ezek az állapotok egyértelműen $ N $ -dimenziós vektorok, mivel az algebra reprezentáció $ N $ -dimenziós. Tehát amikor azt mondjuk, hogy valami - például egy mező - átalakul, mint egy algebra $ \ bf N $, akkor azt értjük, hogy ez az objektum egy $ N $ bejegyzéssel rendelkező oszlopmátrixhoz van hozzárendelve, amelynek alapját a fent említett sajátvektorok adják. Például a $ \ mathfrak {su} (2) $ algebra csak egy lépés operátorral rendelkezik, $ T_3 $. Kétdimenziós irrep-ért. a $ R (T_3) $ mátrixnak két sajátvektora van. A $ \ mathbf N $ formátumú - vagy egyszerűen dublett ként - átalakuló mező $ \ phi $, amely $$ R \ phi = \ begin {bmatrix} a&b \\ c&d \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ phi_1 \\ \ phi_2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ phi_1 '\\ \ phi_2 ' \ end {bmatrix}. $$

Megmutatható például, hogy a $ \ mathfrak {su} (2) $ algebra $ N $ -dimenziós reprezentációkat tartalmaz bármely $ N $ egész számra. A $ \ mathfrak {su} (n) $, $ \ mathfrak {so} (n) $ és $ \ mathfrak {sp} (n) $ klasszikus algebrákban szerepel legalább a szingulett, a definiáló és a mellette lévő reprezentáció. A szingul az egydimenziós ábrázolás, vagyis csak számok. Figyelje meg, hogy az egyetlen lehetőség, hogy a számok kielégíthetik a nem triviális algebrát, az, hogy mind nulla. Akkor hasznosak a fizikában, ha valami egyáltalán nem alakul át. A meghatározó reprezentáció a $ n $ -dimenziós, pl. a $ \ mathfrak {su} (3) $ aroma alatt átalakuló kvark háromdimenziós ábrázolása. Amikor a $ \ mathbb V $ vektormező maga az algebra, az ábrázolást adjoint-nak nevezzük. Ebben az esetben az algebra dimenziója megegyezik az ábrázolás dimenziójával. A szelvénymezők átalakulnak a szelvénycsoportok ezen ábrázolása alatt. Például a $ \ mathfrak {su} (5) $ algebra $ 24 $ generátorral rendelkezik, így a $ \ bf {24} $ a $ \ mathfrak {su} (5) $ mellék ábrázolása.

Miután megtudjuk a Lie algebra $ R (T) $ reprezentációját, exponenciális művelettel előidézhetjük a csoportnak, $$ R (g) = \ exp \ left [i \ phi R (T) \ right], $$ ahol $ g $ a csoport elemet jelöli. Vegye figyelembe, hogy ha van egy algebra szingulettünk, akkor a csoport szingulettje csak a $ 1 $ számot mutatja.

Vannak ugyan bizonyos finomságok, amikor az algebrából a csoportba megyünk. Egy adott Lie algebrából kiindulva és egy adott reprezentáció hozzárendelésével különböző Lie csoportokhoz juthatunk. Tehát a $ \ mathfrak {su} (2) $ együttes ábrázolásához a létrehozott csoport $ \ mathrm {SO} (3) $ lesz $ helyett $ \ mathrm {SU} (2) $.