Ön igaza van, amikor rámutat, hogy a $ \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 - \ Delta t ^ 2 $ bármely függvénye állandó és minden megfigyelő megállapodott. Tehát meghatározhatnánk a $ \ Delta s $ koszinuszát ... ha csak az érdekelne, hogy invariáns legyen.

Akkor is igazad van, amikor rámutatsz a dimenzió kérdésére. Mérje meg az időt fénycentiméterben, és az x, y, z tengelyek távolságát centiméterben. Ezután a hosszúságot centiméterben mérjük, és így az időt is. Ekkor a jobb oldali egység cm $ ^ 2 $ egységekkel rendelkezik, tehát a bal oldallal is. A koszinusz vagy más hasonló funkciók, például az Ön által javasolt identitásfüggvény használata olyan mennyiséget eredményezne, amelynek még a hosszegysége sincs (és így nem lehet megfelelő idő).

Most a definíciók tetszőlegesek , így definiálhatod, hogy Ps egyenlő $ \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 - \ Delta t ^ 2 $, ha akarod, és bármilyen nevet adhatsz neki. De képes lennél kifejezni a fizika alapvető törvényeit ebben a mennyiségben? A relativitás elvének követelménye , hogy invariáns legyen, és Ps vagy cos (Ps) ezt kielégítené, de kívánatos , hogy ez megkönnyítse az életet számunkra a képleteinkben, mivel a fizika gyakorlása már elég nehéz. Fontos okai vannak annak, hogy miért a négyzetgyök függvényt akarjuk használni koszinusz helyett, vagy azon identitásfüggvény helyett, amelyhez a többi válasz ragaszkodik.

Nem csak azért van, hogy kinézzen Pythagoras tétele, vagy úgy néz ki, mint egy pre-relativisztikus fizika. Ezek az okok nem válnak nyilvánvalóvá, amíg el nem jut az Általános Relativitás, vagy legalább a Differenciálgeometriáig. Ez a kérdésed átfogalmazva: Miért akarunk egy invariáns mennyiséget tanulmányozni, amelynek méretei hosszúságúak? (Ami megegyezik az idővel).

A válasz az, hogy meg akarjuk tudni határozni a $ s $ értéket, a megfelelő időt, vagy ahogy én kifejezem, "egy út hosszát". Ezt az útvonal mentén egy $ s = \ int ds $ integrál adja meg, és minden megfigyelő számára invariáns lesz. Egy megfigyelő számára, aki ezen az úton halad, ez tűnik az eltelt időnek. Most már teljesen alapvető, hogy ha először 2 cm, majd további 3 cm telik el, akkor a teljes eltelt idő 5 cm. Tehát szükségünk van adalék mennyiségre . Sem a koszinusz, sem a Ps nem additív, mint az egyszerű példák mutatják, de ha $ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dz ^ 2 + dy ^ 2-dt ^ 2 $ -ot definiálunk, akkor additív lesz a magasabb dimenziós nem -Euklidészi analóg Pythagoras tételéhez. ezért következik be a négyzet, és valóban négyzeteli a $ ds $ mennyiséget, és ha véges intervallumok vannak egyenesek mentén, akkor ez valóban egy $ \ Delta s $ mennyiség négyzete, amelynek meghatározása $ $ \ Delta s = \ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 - \ Delta t ^ 2}. $$

RÖVID VÁLASZ s $, hogy adalékmennyiséget kapjunk a világvonal mentén.

és Δs a tér-idő intervallum.

Valójában sokan (a legtöbb?) azt mondják, hogy a téridő intervallum értéke $ \ Delta s ^ 2 $. Más szavakkal, a $ \ Delta s ^ 2 $ nem a négyzetes intervallum; ez az intervallum szimbóluma .

Mivel ezt egy kommentben megkérdőjelezték, az alábbiakban néhány utalást közlök:

Bernard Schutz írja a Gravity from the Ground up: An Introduction Guide to Gravity and General Relativity :

Itt van a téridő-intervallum meghatározása. Tegyük fel, hogy egy bizonyos kísérletező által mérve két eseményt elválaszt egy $ t $ idő és egy $ x $ térbeli távolság. Ezeket a számokat tekintve a két esemény közötti téridő-intervallum a $$ s ^ 2 = x ^ 2-c ^ 2 t ^ 2 mennyiség. \ Tag {17.1} $$ Figyelje meg, hogy ezt a egy szám $ s $. A pacetime-intervallum a $ s ^ 2 $ mennyiség, nem pedig a $ s $. Valójában nem gyakran foglalkozunk magával a $ s $ -val. Ennek oka az, hogy $ s ^ 2 $ nem mindig pozitív, ellentétben az űr távolságával. Ha a $ ct $ nagyobb, mint $ x $ a 17.1 egyenletben, akkor a $ s ^ 2 $ negatív lesz. A negatív szám négyzetgyökének elkerülése érdekében a fizikusok általában csak kiszámítják a $ s ^ 2 $ értéket, és ezt hagyják. Csak a $ s ^ 2 $ -t kell szimbólumként tekintenie, nem pedig valaminek a négyzetére.

Robert M. Wald írja a Tér, idő és gravitáció: Az ősrobbanás és a fekete lyukak elmélete :

Milyen azonnali információt nyújt nekünk a téridő intervallum? Ha az A és B esemény közötti téridő intervallum negatív, akkor $ t_1 $ vagy $ t_2 $ negatív. Ebből következik, hogy az A és B események időszerűek, amint azt a 12. $ a $ ábra szemlélteti. Ebben az esetben lehetséges, hogy egy inerciális megfigyelő jelen van mind az A, mind a B eseményen. Az eltelt idő, amelyet egy ilyen megfigyelő A és B között mérne, egyszerűen a téridő-intervallum mínusz négyzetgyöke, $ \ Delta t = \ sqrt {- \ text (interval)} $.

Továbbá tér-idő intervallumokból:

az intervallumot meghatározza a

$$ \ Delta s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2- (c \ Delta t) ^ 2 $$

Ne feledje, hogy a $ \ Delta s ^ 2 $ szimbólumot általában alapvető mennyiségnek vesszük, és nem valamilyen más mennyiség négyzetét $ \ Delta s $.

És Sean Carroll a következőt írja: " Előadás megjegyzések az általános relativitásról":

Az intervallum meghatározása $ s ^ 2 $, nem pedig ennek a mennyiségnek a négyzetgyöke .

Elméleti vagy gyakorlati ok, hogy a tér-idő intervallumot négyzetes alapon határozzuk meg.

Elméletileg az inter val az elmozdulású négyvektor Minkowski-pont (belső) szorzata önmagával

$$ \ Delta s ^ 2 = x ^ {\ mu} x _ {\ mu} $$

amely invariáns a Lorentz-transzformáció alatt. Ez analóg a 3D-s elmozdulásvektor négyzetének négyzetével.

$$ l ^ 2 = \ mathbf x \ cdot \ mathbf x $$

A Minkowski belső szorzat azonban nem pozitív határozott; a belső szorzat lehet pozitív vagy negatív.

Gyakorlatilag az intervallum előjele határozza meg, hogy a négy elmozdulás időszerű vagy térszerű (az intervallum fényszerű, ha az intervallum nulla) .

Ha az intervallum időszerű, akkor a megfelelő idő

$$ \ tau = \ sqrt {\ frac {| \ Delta s ^ 2 |} {c ^ 2 }} $$

Ha az intervallum szóközszerű, akkor a megfelelő távolság

$$ \ sigma = \ sqrt {| \ Delta s ^ 2 |} $$

vagy csak azért, hogy hasonló legyen Pythagoras tételéhez ...?

Ha megnézzük Einstein "Relativitás: A különleges és általános elmélet" c. , az I. függelékben (közvetlenül a (10) egyenlet előtt) látni fogja, hogy az intervallumegyenlet levezetése érdekében Einstein valójában a Pythagorase-téttel kezdődött 3D-ben, amelyet így fogalmazott:

$$ r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} = ct $$

Így megmutatta a háromdimenziós térben haladó fény.

Ezután számos módon átalakította az egyenletet, de a Pitagorasz-tétel volt az egész egyenlet forrása.

(És megkaptam a visszavonás, mert ... emlékeztettem a történelmet? Nos, azt hiszem, nem érdemes tanulmányozni a forrásokat ...)

SZERKESZTÉS: PyRulez az alábbiakban megjegyezte: "Ez nem igazán magyarázza miért volt a tér-idő intervallum négyzetes (csak a távolságoknak kell lennie) ".

Nos, $ x $ ($ \ Delta x $) távolság, $ y $ távolság, $ z $ távolság és $ ct $ - amint fentebb bemutattam (vagy ami egyszerűen következik) attól, hogy a sebesség szorozva az idővel) - szintén távolság. Most mit nevezel a távolságok összeadásának és kivonásának (négyzet) eredményének? Einstein "vonalelemnek" vagy "lineáris elemnek" nevezte, és a "Az általános relativitáselmélet alapja" című lapban (119. oldal) a következőket írta:

"A négydimenziós kontinuum végtelen közelsége pontjaira vonatkozó lineáris elem nagyságát ds-nek hívjuk."

A három pont közötti legrövidebb euklideszi távolság, nevezetesen 1,2,3, következik, hogy $ dist (1,3) = dist (1,2) + dist (2,3) $.

ahol $ dist (x, y) $ az x és y pont közötti vektor.

Most már napi tapasztalataink alapján tudjuk, hogy a tér önmagában idő nélkül euklideszi.

Ezt a linearitási összefüggést át kell vinni a téridőbe. Miért?

Mert ha egy megfigyelőnek három egyidejű eseménye van, akkor a tér-idő távolságuknak meg kell egyeznie az euklideszi távolsággal, és így követni fogja a linearitás feltételét.

Tehát arra számítunk, hogy az a, b és c események közötti tér-idő intervallumnak szintén követnie kell az összefüggést

$ dist ^ * (a, c) = dist ^ * (a, b) + dist ^ * (b, c ) $

ahol $ dist ^ * $ a tér-idő intervallum távolságvektor.

amelyet csak akkor követünk, ha a térintervallum egysége hosszú, nem pedig $ ^ 2 $.

Ez a linearitási összefüggés megkönnyíti a matematikát, és lehetővé teszi számunkra, hogy az relativitás előtti napokhoz hasonlóan speciális relativitáselméletben tegyünk dolgokat, például a sebességet, a kinetikus energiát, a lendületet meghatározzuk hasonló módon a newton, és ugyanazokat a módszereket követik. vektor / skalár összeadás, illetve a relativitás előtti napokban.

Ha mégis mindent ugyanúgy tettél, mint például, hogy a lendületet $ p = $ $ m $ x (új mutató) $ / $ megfelelő idő és energia ahhoz, hogy egysége legyen $ p ^ 2 / 2m $.

Ahol az új mutató azt jelzi, hogy a kérdés $ \ Delta s '$ értéke.

Nem lesznek igazak azok a kapcsolatok, mint az energiatakarékosság, a lendület-megőrzés. ugyanaz a matematikai forma, amelyet korábban a relativitás előtti mechanikában használtak.

Tehát vagy kezelje a minkowski metrikát a $ length $ dimenzióval, vagy teljesen megváltoztassa a relativitás előtti lendületet, energiát és mindent, így hogy elmélete összhangban áll az univerzummal.

Ez utóbbi nagyon ijesztő feladatnak tűnik, mint az előbbi. Összefoglalva :.

Egyenleteink megőrzik régi relativitás előtti matematikai formájukat, ez az alapvető oka annak, hogy a tér-idő intervallumot hosszegységeknek vesszük. A távolságunk továbbra is vektormennyiség.

Az egyik ok a sok közül az, hogy ha a negatív távolság ugyanolyan jó, mint a pozitív távolság (azaz használhat negatív távolságot egy irányban ugyanúgy, mint az ellenkező irányú pozitív távolságot), akkor $ s ^ 2 $ egyértelművé teszi ezt a tényt, mert abban a világban, ahol négyzetekkel dolgozol (például az általad közzétett egyenlet), a valós távolság mindkét előjelgel ugyanolyan jó, mertmindkettő ugyanaz jön ki.