Pontosan ezért a $ L ^ 2 (\ mathbb R) $ not egyszerűen a négyzetbe integrálható függvények területe a $ \ mathbb R $ - $ \ mathbb C $ (amelyet úgy hívhatunk, hogy $ SI ( \ mathbb R) $ ).

$ SI (\ mathbb R) $ az összes függvényből áll $ f: \ mathbb R \ rightarrow \ mathbb C $ olyan, hogy $ \ int_ \ mathbb {R} | f (x) | ^ 2 dx $ létezik és véges. De ahogy megjegyzed, ha megpróbálsz Hilbert térbe kerülni, problémákba ütközik. A megoldás egy $ \ sim $ ekvivalencia reláció meghatározása a $ SI (\ mathbb R) $ oldalon, ahol $ f \ sim g $ ha $ f (x) \ neq g (x) $ csak egy Lebesgue-készlet nulla - azaz $ f \ sim g $ , ha szinte mindenhol egyetértenek.

Innen határozza meg a $ L ^ 2 (\ mathbb R) $ értéket a $ SI (\ mathbb) hányadosként R) / \ sim $ , amelynek elemei a $ \ sim $ ekvivalencia reláció alatt a négyzetbe integrálható függvények ekvivalencia osztályai . . Ez megoldja a kétértelműséget - a $ f (x) = 0 $ és a $ g (x) = \ begin {esetek függvények } 1 & x = 0 \\ 0& x \ neq 0 \ end {cases} $ a $ SI (\ mathbb R) $ különböző elemei, de a $ L ^ 2 (\ mathbb R) $ ugyanaz elemének két egyenértékű képviselője.

Ez egy fontos pont, amelyet a bevezető órákon általában a szőnyeg alá söpörnek.

A Quantum mechancsokban használt funkcionális Hilbert-tér elemei (amelyeket a matematikai szakirodalomban $ L ^ 2 [{\ mathbb R}] $ -nak hívnak) nem igazán függvények, hanem inkább a funkciók ekvivalenciaosztályai , amelyek $ f_1 \ sim f_2 $ if $ f_1 A $ és a $ f_2 $ nulla $ \ zeta (x) $ függvénnyel különbözik hossz, azaz ha $ f_1 (x) = f_2 (x) + \ zeta (x) $ ahol $ \ int | \ zeta (x) | ^ 2 dx = 0 $ . Mivel az összes "nulla függvény" nulla hosszúságú függvényenként különbözik egymástól, ugyanazoknak tekintik őket, így a "nulla vektor" egyedivé válik.

Ennek következtében a hullámfunkciók $ \ psi (x) $ egyetlen pillanatban sem rendelkeznek tényleges értékekkel $ x $ . Csak a régiók feletti integrálok rendelkeznek számszerű értékekkel. Ez további problémákhoz vezet, például arra, hogy mit értünk a Schroedinger-egyenletben szereplő $ \ psi (x) = 0 $ határfeltételek alatt? Ezekre a kérdésekre a funkcionális elemzésről szóló könyvek adnak választ, de túl nehéznek tartják az egyetemi QM tanfolyamok számára.

A hiba abban áll, hogy azt feltételezzük, hogy a Hilbert-tér $ V $ "fizikailag" függvényekből közvetlenül áll. nem. A Lebesgue négyzetbe integrálható függvények terének kialakítása csak az első lépés a Hilbert-tér felépítéséhez.

A második lépés az, hogy azonosítsuk azokat a függvényeket, amelyek csak a Lebesgue-nulla mértékű halmazoknál különböznek ugyanazon függvényektől: vagyis meghatározzunk egy ekvivalencia relációt

$$ f \ sim g: = \ left [\ mu_L \ left (\ {u \ in \ mathbb {R}: f (u) \ neq g (u) \} \ right) = 0 \ right] $$

ahol a $ \ mu_L $ a Lebesgue-mérték, és megmérjük annak a ponthalmaznak a méretét, amelyen a két függvény egyenlő, és logikai értéket alkotunk kifejezés azzal a kérdéssel, hogy a mérték nulla-e. Ezután az összes ilyen függvény halmazának hányadosa lesz ezzel a relációval.

Így a Hilbert-tér tagjai - a ket vektorok - not függvények, de ekvivalenciaosztályok $ [f] _ \ sim $ span > of függvények $ f $ ebben a relációban. A nulla elem nem $ u \ mapsto 0 $ , hanem $ [u \ mapsto 0] _ \ sim $ (névtelen függvény jelöléssel). Így egy olyan funkció, mint a $ \ mathbf {1} _ {S_C} $ , a Cantor $ S_C $ halmazának indikátorfüggvénye , a $ [u \ mapsto 0] _ \ sim $ -ba is tartozik, ezért alternatív képviselője ugyanannak az ekvivalenciaosztálynak, és így alternatív a nulla vektor (ket) ábrázolása és nem annak formális meghatározása . Vagy hivatalos nyelvre fordítva,

$$ | \ rangle: = [u \ rightarrow 0] _ \ sim $$

.

Amit megpróbál meghatározni, az a $ L ^ 2 (\ Omega) $ szóköz néhány $ \ halmazhozOmega $ .Kételyed jogos.Valójában az ilyen tér elemeinek meghatározásának megfelelő módja az egyenértékűségi osztályok.Az ilyen tér egyik eleme szigorúan nem egy függvény, hanem a függvények ekvivalencia osztálya, amelyek különböznek a nulla mértékű halmazon.A nulla vektor a funkciók ekvivalenciaosztálya, amelyek szinte mindenhol nulla értékűek.