Figyelembe kell venni a végtelenül rövid idő határát, amelyben a sebesség (a papíron függőleges) komponense végtelenül rövid, és ezáltal a szög is végtelenül kis mennyiségre változik.Ebben a határban a hosszúság korrekciója kvadratikus az időbeli lépésben, és pontosan eltűnik a folyamatos idő fizikai határában.Pitagorasz:

$$ v_2 = \ sqrt {v ^ 2 + (adt) ^ 2} \ kb v + \ frac {a ^ 2} {2v} dt ^ 2 + \ cdots $$

Mivel a sebesség iránya változik.A sebesség egyre kevésbé "mutat" az A pont felé, és amikor az A és B közötti távolság a legkisebb, akkor a sebesség derékszöget zár be a sugárral, ami azt jelenti, hogy a gyorsulási vektor egyenes derékszöget is csinál a sebességgel.Ezen a ponton a sebesség radiális komponense nulla, a teljes sebesség pedig a legnagyobb.Ezen pont után a gyorsulási vektor kissé eltávolodik a sebességvektortól, és hossza csak addig csökken, amíg újra el nem éri a legmagasabb pontot.

Ezt a képet azért készítettem, hogy megértsem a rajzolt sebességet (piros) és a radiális sebességvektort (kék).Ne feledje, hogy amikor a sugársebesség csökken, de még mindig A felé mutat, a teljes sebesség még mindig növekszik.

Ez a kérdés rámutat a szimplekticitás fontosságára a fizikában.

Egy orbitális szimulációban tegyük fel, hogy az ember egyszerűen előrehalad az állapoton keresztül $$ \ begin {align} \ boldsymbol x (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol x (t) + \ boldsymbol v (t) \, Delta t \ tag 1 \\ \ boldsymbol v (t + \ Delta t) & = \ boldsymbol v (t) + \ boldsymbol a (t) \, \ Delta t \ end {align} $$ ahol $ \ Delta t $ egy véges (nem végtelenül kicsi) mennyiség, a $ \ boldsymbol a (t) $ pedig Newton gravitációs törvénye alapján kerül kiszámításra. Ez a keringő testet kifelé tekeri és gyorsabbá teszi. Ez az, ami @TylerDurden kínozza.

Ez a kifelé irányuló spirál a legegyszerűbb, ha az ember egy körpályán lévő tárgyból indul. A kezdeti lépés az érintő mentén van, tehát távol a körpályától. A sebesség is növekszik; a sebesség változása merőleges a kezdeti sebességre. Valami egyértelműen baj.

Ami rossz, az a fenti diszkrétálás, amint azt az egyszerű numerikus integrációs elmélet javasolja. Bármely másodrendű differenciálegyenlet átalakítható első rendű differenciálegyenletké azáltal, hogy az első deriváltt (ebben az esetben sebességet) az állapot részévé tesszük, majd numerikus integrációs technikákat alkalmazunk az első rendű ODE-k megoldására az eredményül kapott differenciálegyenletre. Az elsőrendű kezdőérték-probléma megoldásának legegyszerűbb numerikus megoldása az állapot előrehaladása $ \ boldsymbol s (t + \ Delta t) = \ boldsymbol s (t) + \ Delta t \, d \ boldsymbol s (t) / dt $ útján. . Ez az Euler-módszer, és a fenti (1) egyenletet eredményezi, ha keringő testre alkalmazzuk.

A probléma az, hogy ez a diszkrétálás nem szimplektikus (vagyis sérti a természetvédelmi törvényeket). A nézés másik módja, hogy ez a megközelítés figyelmen kívül hagyja a geometriát. (A természetvédelmi törvények "geometria".) Vannak más, nem szimplektikus technikák is, például a kanonikus Runge Kutta integráció, amely a keringő testet spirálossá teszi befelé.

A kérdés az, hogy a másodrendű differenciálegyenlet konvertálása első rendű differenciálegyenletgé, majd az első rendű kezdőérték-technikák használata az ODE számszerű megoldásához költséggel jár, és ez a költség kidobja a geometriát az ablakon. Olyan technikákra van szükség, amelyek nem dobják ki a geometriát az ablakon. Nagyon egyszerű megközelítés az (1) egyenletek kissé eltérő sorrendben történő alkalmazása: $$ \ begin {align} \ boldsymbol v (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol v (t) + \ boldsymbol a (t) \, Delta t \ tag 2 \\ \ boldsymbol x (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol x (t) + \ boldsymbol v (t + \! \ Delta t) \, \ Delta t \ end {align} $$ Ez a szimplektikus Euler-módszer. Figyelje meg, hogy a sebesség- és helyzetszámítások miként fonódnak be. Ez a "szimplektikus"

Ha kidolgozza a matematikát a (2) egyenletnek a gravitációra való alkalmazásával kapcsolatban, akkor azt tapasztalhatja, hogy az Euler-módszer alternatív megfogalmazása kifejezetten betartja Kepler második törvényét, miszerint a Naptól a bolygóig húzott vonal kisöpör. egyenlő területek egyenlő időkben. Ez a geometria! Kepler második törvénye természetesen a szögimpulzus megőrzésének különleges példája. A természetvédelmi törvények és a geometria szorosan összekapcsolódnak.

Bármely, növekvő sebességgel haladó test növeli mozgási energiáját $ KE $.Mivel a rendszerében van:

$$ KE + PE = \ text {konstans} $$

ahol $ PE $ potenciális energia.Ezért a $ KE $ növekedésével csökken az objektumok közötti távolság (így növelve a $ PE $ értéket).

Megjegyzés: $ KE $ mindig pozitív.A $ PE $ lehet pozitív vagy negatív.A $ PE $ negatív a kötött rendszereknél.

A vektorösszeg rajza hibás. Figyelembe véve a tökéletesen kör alakú pálya egyszerű esetét, van egy tangenciális sebességvektor és egy merőleges (befelé) gyorsulásvektor. Szigorúan véve nem adhatod hozzá őket, mert különböző mennyiségűek (gyorsulás vagy sebesség).

A pálya egy pontján az objektum kezdeti sebessége V valamilyen irányban, amelyet X-nek hívunk, és egy merőleges irányú befelé irányuló gyorsulás, amelyet Y-nek hívunk. Egy negyed perccel később a gyorsulási vektor felgyorsult az objektum nulláról V-re Y irányban, de elfordult (még mindig befelé mutat), lassítva az objektumot V-ről nullára, X irányban. Ezen a ponton nincs több Y komponens a gyorsulásnak.

Ha a gyorsulási és sebességvektorokat derékszögű komponensekre bontja, akkor azt találja, hogy mindegyik egy szinuszoidot ír le, amely valamikor csúcsot ér, egy negyed ciklussal később átlépi a nulla értéket, majd egy negyedik ciklus után eléri az inverz csúcsot, utána pedig ismét nulla egy negyedik ciklus, és egy teljes ciklusban visszatér a kezdeti csúcshoz. Ha összeadja a görbék alatti területet, akkor nulla lesz - a negatív pontosan megegyezik a pozitíval, tehát nincs nettó változás, tehát nincs nettó sebességnövekedés.

Mivel továbbra is zavartnak tűnik, itt egy másik taktikát próbálok ki:

Megmutatja az érintősebességet (A) és a radiális gyorsulást (B), és hozzáadja őket a zöld nyíl megjelenítéséhez.Hiányzik, hogy ez egy gravitációs mezőben fordul elő.Amint a kezdeti út mászik a keringő objektumtól, elveszíti a sebességét.Ez egy harmadik nyíllal jelenik meg, amely az A-val szemközti irányba mutat, és pontosan megfelelő mennyiségű ahhoz, hogy a dolgok kiegyensúlyozottak maradjanak és tárgya békésen maradjon a pályán, ahelyett, hogy a végtelenbe repülne.

Miután elolvastam mások válaszait, azt látom, hogy még mindig zavarba jöttél, ezért szeretném kihasználni az esélyemet, hogy tisztázom a zavart.

Úgy tűnik, hogy az a zavarodottságod, hogy a keringő test miért nem gyorsul fel végtelen sebességig (vagy nekicsapódik az A testnek), és zavartságod eredete abból a feltételezésből ered, hogy az eredő sebesség mindig nagyobb, mint az előző, ami nem helyes.

Hadd kezdjek egy kis példával a vizualizációra.

Tegyük fel, hogy az A test rögzül, a B test pedig egyenes vonalban mozog, amely nem keresztezi az A testet (most hagyjuk figyelmen kívül a sebesség irányának változását).

Amint a B test megközelíti az A testet, annak sebessége addig növekszik, amíg el nem éri azt a pontot, amelyben az A testtől minimális távolságra van, ekkor a B testnek még mindig nagy a sebessége, így tovább halad ezen a ponton, de ezen a ponton túl a két test között keletkező erő is lassulni kezd (csökkenti annak sebességét). Egy ponton a sebesség 0 lesz, és a B test visszatér a minimális távolság birtokába. Ha egyedül hagyjuk ezt a rendszert, a B test periodikusan oszcillál, soha nem éri el a maximális sebességet, és soha nem ütközik A-ba.

Egyetért velem abban, hogy egy ilyen rendszer nem hasonlít semmilyen fizikai rendszerre, de segítene a szükséges intuíció fejlesztésében.

Remélem, hogy ismeri az egyenletes körmozgást, de elegendő azt mondani, hogy minden mozgás esetén a mozgásra merőleges gyorsulás csak a mozgás irányát változtatja meg.

Most megvannak az eszközeink a teljes orbitális mozgás kezelésére.

A pálya bezárási pontján a gyorsulás merőleges a mozgásra, és nem változtatja meg a sebesség nagyságát, de még akkor is, ha igen, és még akkor is, ha növelné a sebességet, mint a képen, megvana sebesség elég nagy ahhoz, hogy a B test távolabb kerüljön az A testtől, mint korábban, de ilyen esetekben az erő elkezdi lassítani a B tömegét, ugyanolyan módon csökkenti annak sebességét, mint aaz a rendszer, ahol a mozgást egyenes vonalra szorították.

A B test továbbra is egyre távolabb kerül, miközben leír egy görbét, amelyet a folyamatos húzás sugárirányban mutat fel addig a pontig, amelyben nem mozdul el távolabb, és nem kezd visszatérni az A-hoz, ismételve ugyanazt a mozgástfolyamatosan

Remélem, ez tisztázza zavartságát.

Először is, a számítás nem csak nagyon apró lépések : megmutathatom, hogy korlátozhat-e olyan folyamatokat, amelyek nem értenek egyet bármelyik igazán kis lépés alapú megoldással, például egy lépcsőház készítésével kisebb és kisebb lépcsőkkel. A teljes "futófelület plusz emelkedés" méret 2k marad, míg a határ egy sqrt (2) k hosszúságú vonal.

Azonban a számítás szinte minden része, amely a fizika előrejelzésében dolgozik, valóban igazán kis lépések alapú rendszerekkel működik. Tehát ahelyett, hogy közvetlenül belemerülnék a számításba, a lépéseivel kezdem.

Vizsgáljuk meg, mi történik, amikor kisebbé tesszük a lépés méretét.

A keringő testünk 1 AU-ban van. A Nap körül kering, amelynek súlya ~ 2 10 ^ 30 kg. ~ 29 870 m / s sebességgel mozog. A gravitációs gyorsulás ~ 0,0060 m / s ^ 2. Körülbelül egy évig tart a pálya.

A t idő alatt a sebesség:

$$ \ sqrt {(29870 \ frac {m} {s}) ^ 2 + (0,0060 \ frac {m} {s ^ 2} * t) ^ 2} $$ vagy $$ 29870 \ frac {m} {s} * \ sqrt {1 + (2,01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $$ osztva az aktuális sebességgel. Az a rész, amely gyorsabbá teszi a keringő testet, a négyzetgyök alatti rész: $ \ sqrt {1 + (2,01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $ - amikor nagyobb, mint 1, az idő lépés utáni sebesség nagyobb.

Mi történik, ha t nevetségesen kicsi? Nos, ennek egyik módja a Taylor sorozat ¹

$$ \ sqrt {1 + (2,01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $$ legyen $ x = (2,01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2 $

$$ = 1+ \ frac {x} {2} - \ frac {x ^ 2} {8} + ... $$ ahol garantálhatjuk, hogy ennek a sorozatnak az előtagja a sorozat következő elemének értékével kikerüljön a végtelenben a "valódi válaszból".

Tehát a $ 1 $ a téves válasz közelítője kevesebb, mint $ \ frac {x} {2} $.

Csatlakoztassuk Planck idejét $ t $ vagy ~ $ 5 * 10 ^ {- 44} s $ áron.

Megállapítottuk, hogy a keringő test sebessége az eredeti sebessége, plusz 10 ^ 100-ban legfeljebb egy rész.

Tegyük fel, hogy ez a test az univerzum jelenlegi élete során keringett.Ekkor a felgyorsulás mértéke, amelyet észlelhetünk, körülbelül 1 rész 10 ^ 60-ban.

Alapvetően, ha az univerzum folyamatos, akkor a határban nincs további sebesség.Ha valóban kis méretben diszkrét, akkor az ilyen időbeli lépések által generált további sebesség mennyisége nem észlelhető az időskálákban, amelyeket vizsgálni tudunk, és esetleg elveszne a "kerekítés" miatt, amelyet a tér és az idő okoz diszkrét.

Ha az univerzum térben és időben kvantált, a várt skála a Planck-skálán van, messze elmaradva attól, amivel jelenleg kísérletezhetünk.És megmutathatjuk, hogy az univerzum folyamatos számítási modellje a világegyetem olyan modelljét hozza létre, amely elég közel van ahhoz, hogy a jelenlegi megfigyelési képességeink segítségével ne tudjunk különbséget tenni közöttük.

¹ az ügyes észreveszi, hogy itt becsúsztam a Calculusban.Igen, csalok.