Ha a relatív sebesség nem nulla, akkor jó, ha a pontok közötti távolság nem változik. Ez minden bizonnyal érvényes egy forgó merev testre. Másik példaként vegyünk egy labdát egy húrra, és forgassuk vízszintes körben. A labda hozzád képest mozog? Igen. Feléd halad, vagy távolodik tőled? Nem.

Ezért ez a rész

Ha nem nulla relatív sebességük van, akkor a köztük lévő távolság idővel megváltozik.

az érvénytelen lépés. Ez nem feltétlenül igaz, és nem is merev testekre.

Ennek egyszerű geometriai "igazolását" lásd Mike Stone válaszában.

SZERKESZTÉS - A skaláris távolság helyett beszéljünk egy labda helyzetvektoráról, amelyet egy húr segítségével forgatok. Ha a testemet is ugyanolyan szögsebességgel forgatom vele együtt, akkor a labda nyugalmi helyzetbe kerülne a nézőpontom szerint. Ha volt egy relatív sebesség $ \ vec v $ , nem változik-e a labda helyzetvektora a $ \ által vec r (t + dt) = \ vec r_0 + \ vec v \, \ text dt $ ?

Igen, ha a labdával forgol, akkor megfigyeled, hogy a labda nyugalomban van. Nem inerciális referenciakeretben leszel. Nem inerciális, mert forog (gyorsul). Ebben a referenciakeretben a labda állandó helyzetének vektorát és egy $ 0 $ sebességvektort láthat.

Ha a B pont sebessége az A ponthoz képest mindig derékszögben van az őket összekötő AB egyeneshez képest, akkor a távolság nem változik.

Úgy tűnik, hogy a tapadó pont az a gondolatod, hogy a nulla nélküli relatív sebesség a távolság megváltoztatását jelenti. Fontolja meg az autót, hogy lássa, hogy ez nem így van. Amikor befordul egy autóba, a külső gumiabroncs gyorsabban mozog az út szempontjából, mint a belső gumiabroncs, vagyis a két gumiabroncs relatív sebessége nulla. Mégis, az autó nem esik szét.

Ennek oka, hogy a gumiabroncsok relatív sebessége merőleges az elválasztó vektorra.

Ennek bizonyításához legyen $ \ vec {r} _ {AB} \ equiv \ vec {r} _B - \ vec {r} _A $ elválasztó vektor az A objektumtól a B objektumig. Számoljuk \ begin {align} \ frac {d} {dt} || \ vec {r} _ {AB} || & = \ frac {d} {dt} \ sqrt {\ vec {r} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {\ vec {r} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB}}} (2 \ dot {\ vec {r}} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB}) = \ frac {\ dot {\ vec {r}} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB}} {|| \ vec {r} _ {AB } ||} \ end {igazítás} Amiből következik $$ \ frac {d} {dt} || \ vec {r} _ {AB} || = 0 \ iff \ dot {\ vec {r}} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB} = 0 $$ Ami azt jelenti, hogy két rögzített távolságú objektumnak relatív sebessége lehet. Valójában ez pontosan akkor lehetséges, ha a relatív sebesség merőleges az elválasztási vektorral.

Annak megtekintéséhez, hogy a relatív sebesség merőleges az elválasztó vektorra egy merev testben, vegye figyelembe, hogy egy merev testben (a tömegközépponttal összekötött keretben) $ \ pont {\ vec {r}} _ A = \ omega \ times \ vec {r} _A $ és $ \ dot {\ vec {r}} _ B = \ omega \ szor \ vec {r} _B $ . Így $$ \ dot {\ vec {r}} _ {AB} = \ dot {\ vec {r}} _ B - \ dot {\ vec {r}} _ A = \ omega \ times \ vec {r} _ {B} - \ omega \ times \ vec {r} _ {A} = \ omega \ times (\ vec {r} _ {B} - \ vec {r} _ {A}) = \ omega \ times \ vec {r} _ {AB} $$ így $$ \ dot {\ vec {r}} _ {AB} \ cdot \ vec {r} _ {AB} = (\ omega \ times \ vec {r} _ {AB}) \ cdot \ vec {r} _ {AB } = 0 $$

Összefoglalva: 1) Lehetséges, hogy két rögzített távolságú objektum relatív sebességgel rendelkezik;csak relatív sebességük merőleges az elválasztó vektorukra.2) A merev test pontjai relatív sebességgel mozognak, amely merőleges az elválasztó vektorukra.

Nem láttam leírni, ezért hozzáteszem: minden a "megfigyelőtől" vagy attól a kerettől függ, amelyben a mozgást leírja.

Képzelje el, hogy egy légy ül a frizbin, aki áthalad az égen. Ha a legyet felkötözzük a frizbi felé, és nyitva tartja a szemét, akkor a frizbi minden pontja helyben marad. A frizbi különböző pontjai azonban a talajhoz képest különböző sebességgel mozognak, alapvetően a forgási sebességtől és a frizbi helyétől függően.

Matikusabb értelemben a frizbi egy pontjának a frizbi bármely más pontjához viszonyított sebessége, amelyet a frisbee-ra rögzített keret képez, nulla. Ennek a két különböző pontnak a "talaj" keretben kifejezett sebessége más lenne.

Ne feledje, hogy a vektorkinematikában a származékot a transzporttétel használatával kell megtenni, $ ^ A \ frac {d} {dt} (\ bar {r}) = ^ B \ frac {d} {dt} (\ bar {r}) + \ bar { \ omega} _ {B / A} \ szor \ bar {r} $ ahol a szuperindexek azt a keretet tükrözik, amelyben a deriváltat veszed - vagy ahol a "megfigyelő" ül.

a következő egyenletekkel is láthatja:

feltételezve, hogy az összes vektor merőleges, így:

$$ \ omega = \ frac {r_1 \, v_1} {r_1 ^ 2} = \ frac {r_2 \, v_2} {r_2 ^ 2} \ tag 1 $$

$ \ Rightarrow $

$$ r_1 = \ frac {v_1} {v_2} \, r_2 $$ és $$ r_1-r_2 = \ frac {v_1} {v_2} \, r_2-r_2 = r_2 \ frac {v_1-v_2} {v_2} = \ text {konstans} \ címke 2$$

így a $ \ frac {v_1-v_2} {v_2} $ értéknek állandónak kell lennie.

vele:

$$ v_1 = \ omega \, r_1 ~, v_2 = \ omega \, r_2 $$

$ \ Rightarrow $ $$ \ frac {v_1-v_2} {v_2} = \ frac {r_1-r_2} {r_2} = \ text {konstans} $$