A helyzet az, hogy általában $$ \ vec {E} = - \ vec {\ nabla} V - \ frac {\ részleges \ vec {A}} {\ részleges t}; $$ (a jelek a használt konvencióktól függenek), ahol a $ \ vec {A} $ -ot vektorpotenciálnak hívják. Megkeresheti például a Wikipédiát.

Vegyük fontolóra a homogén Maxwell-egyenleteket:

$$ \ elején {esetek} \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} = 0, \\ \ vec {\ nabla} \ times \ vec {E} + \ frac {\ részleges \ vec {B}} {\ részleges t} = 0; \ end {esetek} $$

Köztudott, hogy minden szétválaszthatatlan fájlba be lehet írni egy másik vektormező hullámát (feltételezzük, hogy $ \ mathbb {R} ^ 3 $ , az egyszerűség kedvéért), csakúgy, mint tudjuk, hogy egy görbület nélküli mező írható skaláris függvény gradienseként (mindig egyszerűen összekapcsolt tartományban). Így az első egyenletből

$$ \ vec {B} = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {A}, $$

és ennek behelyettesítése a második egyenletbe,

$$ \ vec \ nabla \ times \ left (\ vec {E} + \ frac {\ partis \ vec {A}} {\ részleges t} \ jobb) = 0 $$

mivel a göndör kicserélhető a w.r.t származékkal. idő, és így beállítható:

$$ \ vec {E} + \ frac {\ részleges \ vec {A}} {\ részleges t} = - \ vec \ nabla V, $$

amelyből

$$ \ vec {E} = - \ vec {\ nabla} V - \ frac {\ részleges \ vec {A}} {\ részleges t}. $$

Ne feledje, hogy ha a mágneses tere időfüggetlen, helyreállítja a jól ismert képletet

$$ \ vec {E} = - \ vec \ nabla V. $$

Ha időben változó mágneses mező van, az elektromos mező nem konzervatív, ezért nem írható $ \ mathbf {E} = - \ nabla V $ formátumban.

Dinamikus elektromos és mágneses mezők esetén az elektromos mezőnek van egy olyan része, amely a vektorpotenciáltól függ: $$ \ vec {E} = - \ vec {\ nabla} V - \ frac {\ részleges \ vec {A}} {\ részleges t}, \ qquad \ vec {B} = \ vec {\ nabla} \ idők \ vec{A}. $$ Az első egyenlet görbületének megadása Faraday törvényét eredményezi (a $ V $ -függő kifejezés kiesik, ahogy megjegyzi);figyelembe véve a második eltérését, a "monopólium nélküli törvény" $ \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} = 0 $.